{l}{3u+z=15}{u+2z=10}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$z=3$$

$$u=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் u-ஐத் தனிப்படுத்தி u-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3u+z=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3u=-z+15$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

-z+15-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

பிற சமன்பாடு u+2z=10-இல் u-க்கு -\frac{z}{3}+5-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

2z-க்கு -\frac{z}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{5}{3}z=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{5}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5-இல் z-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

3-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$u=-1+5$$

-1-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$u=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=4,z=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் u மற்றும் z-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$u=4,z=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u மற்றும் u-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3u+z=15-இலிருந்து 3u+6z=30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

-3u-க்கு 3u-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3u மற்றும் -3u ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$z-6z=15-30$$

-6z-க்கு z-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5z=15-30$$

-30-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5z=-15$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=3$$

u+2z=10-இல் z-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$u+2\times 3=10$$

3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$u+6=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$u=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=4,z=3$$