{l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் u-ஐத் தனிப்படுத்தி u-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3u+5x=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3u=-5x+8$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

-5x+8-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

பிற சமன்பாடு 5u+5x=14-இல் u-க்கு \frac{-5x+8}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

\frac{-5x+8}{3}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

5x-க்கு -\frac{25x}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{40}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{10}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}-இல் x-க்கு -\frac{1}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{1}{5}-ஐ -\frac{5}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1}{3} உடன் \frac{8}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$u=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் u மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3u+5x=8-இலிருந்து 5u+5x=14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

-5x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5x மற்றும் -5x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3u-5u=8-14$$

-5u-க்கு 3u-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2u=8-14$$

-14-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2u=-6$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=3$$

5u+5x=14-இல் u-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5\times 3+5x=14$$

3-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$15+5x=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-1$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$