{l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, z-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$z=-3$$

$$c=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் c-ஐத் தனிப்படுத்தி c-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3c+5z=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3c=-5z-15$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

-5z-15-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

பிற சமன்பாடு 5c+3z=-9-இல் c-க்கு -\frac{5z}{3}-5-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

-\frac{5z}{3}-5-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

3z-க்கு -\frac{25z}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{16}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5-இல் z-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக c-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-3-ஐ -\frac{5}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$c=5-5$$

5-க்கு -5-ஐக் கூட்டவும்.

$$c=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$c=0,z=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் c மற்றும் z-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$c=0,z=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c மற்றும் 5c-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 15c+25z=-75-இலிருந்து 15c+9z=-27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

-15c-க்கு 15c-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 15c மற்றும் -15c ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$25z-9z=-75+27$$

-9z-க்கு 25z-ஐக் கூட்டவும்.

$$16z=-75+27$$

27-க்கு -75-ஐக் கூட்டவும்.

$$16z=-48$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=-3$$

5c+3z=-9-இல் z-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக c-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

-3-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$5c-9=-9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$5c=0$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$c=0,z=-3$$