{l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

c, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$c=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் c-ஐத் தனிப்படுத்தி c-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3c+2x=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3c=-2x+5$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

-2x+5-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

பிற சமன்பாடு 2c+4x=6-இல் c-க்கு \frac{-2x+5}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

\frac{-2x+5}{3}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

4x-க்கு -\frac{4x}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{10}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{8}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=1$$

c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-இல் x-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக c-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{2}{3} உடன் \frac{5}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$c=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$c=1,x=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் c மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$c=1,x=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

3c மற்றும் 2c-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6c+4x=10-இலிருந்து 6c+12x=18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

-6c-க்கு 6c-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6c மற்றும் -6c ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4x-12x=10-18$$

-12x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8x=10-18$$

-18-க்கு 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8x=-8$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

2c+4x=6-இல் x-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக c-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2c+4=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2c=2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$c=1,x=1$$