{l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, c-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் A-ஐத் தனிப்படுத்தி A-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3A-13c=-255$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 13c-ஐக் கூட்டவும்.

$$3A=13c-255$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

13c-255-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

பிற சமன்பாடு 31A-6c=-180-இல் A-க்கு \frac{13c}{3}-85-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

\frac{13c}{3}-85-ஐ 31 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

-6c-க்கு \frac{403c}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2635-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{385}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85-இல் c-க்கு \frac{1473}{77}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{1473}{77}-ஐ \frac{13}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

\frac{6383}{77}-க்கு -85-ஐக் கூட்டவும்.

$$A=-\frac{162}{77}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் A மற்றும் c-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A மற்றும் 31A-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 31-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 93A-403c=-7905-இலிருந்து 93A-18c=-540-ஐக் கழிக்கவும்.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

-93A-க்கு 93A-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 93A மற்றும் -93A ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-403c+18c=-7905+540$$

18c-க்கு -403c-ஐக் கூட்டவும்.

$$-385c=-7905+540$$

540-க்கு -7905-ஐக் கூட்டவும்.

$$-385c=-7365$$

இரு பக்கங்களையும் -385-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180-இல் c-க்கு \frac{1473}{77}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

\frac{1473}{77}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{8838}{77}-ஐக் கூட்டவும்.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

இரு பக்கங்களையும் 31-ஆல் வகுக்கவும்.

$$A=-\frac{162}{77}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$