{l}{20x+30y=10200}{30x+40y=14400(2)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 20 x + 30 y = 10200 } \\ { 30 x + 40 y = 14400 ( 2 ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4560$$

$$y=-2700$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$20x+30y=10200,30x+40y=28800$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$20x+30y=10200$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 30y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20x=-30y+10200$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{20}\left(-30y+10200\right)$$

-30y+10200-ஐ \frac{1}{20} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y+510$$

பிற சமன்பாடு 30x+40y=28800-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}+510-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+510\right)+40y=28800$$

-\frac{3y}{2}+510-ஐ 30 முறை பெருக்கவும்.

$$-45y+15300+40y=28800$$

40y-க்கு -45y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5y+15300=28800$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15300-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5y=13500$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2700$$

x=-\frac{3}{2}y+510-இல் y-க்கு -2700-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-2700\right)+510$$

-2700-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=4050+510$$

4050-க்கு 510-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=4560$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4560,y=-2700$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$20x+30y=10200,30x+40y=28800$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10200\\28800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10200\\28800\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10200\\28800\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&30\\30&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10200\\28800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{20\times 40-30\times 30}&-\frac{30}{20\times 40-30\times 30}\\-\frac{30}{20\times 40-30\times 30}&\frac{20}{20\times 40-30\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10200\\28800\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10200\\28800\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10200+\frac{3}{10}\times 28800\\\frac{3}{10}\times 10200-\frac{1}{5}\times 28800\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4560\\-2700\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4560,y=-2700$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$20x+30y=10200,30x+40y=28800$$

20x மற்றும் 30x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 30-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 20-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$30\times 20x+30\times 30y=30\times 10200,20\times 30x+20\times 40y=20\times 28800$$

எளிமையாக்கவும்.

$$600x+900y=306000,600x+800y=576000$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 600x+900y=306000-இலிருந்து 600x+800y=576000-ஐக் கழிக்கவும்.

$$600x-600x+900y-800y=306000-576000$$

-600x-க்கு 600x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 600x மற்றும் -600x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$900y-800y=306000-576000$$

-800y-க்கு 900y-ஐக் கூட்டவும்.

$$100y=306000-576000$$

-576000-க்கு 306000-ஐக் கூட்டவும்.

$$100y=-270000$$

இரு பக்கங்களையும் 100-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2700$$

30x+40y=28800-இல் y-க்கு -2700-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$30x+40\left(-2700\right)=28800$$

-2700-ஐ 40 முறை பெருக்கவும்.

$$30x-108000=28800$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 108000-ஐக் கூட்டவும்.

$$30x=136800$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4560$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4560,y=-2700$$