{l}{2y=8x-10}{3y=4x-15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y = 8 x - 10 } \\ { 3 y = 4 x - 15 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=-5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-8x=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-4x=-15$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2y-8x=-10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=8x-10$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}\left(8x-10\right)$$

8x-10-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=4x-5$$

பிற சமன்பாடு 3y-4x=-15-இல் y-க்கு 4x-5-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(4x-5\right)-4x=-15$$

4x-5-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$12x-15-4x=-15$$

-4x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$8x-15=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$8x=0$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

y=4x-5-இல் x-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-5,x=0$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-8x=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-4x=-15$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-8\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}&-\frac{-8}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-8\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-10\right)+\frac{1}{2}\left(-15\right)\\-\frac{3}{16}\left(-10\right)+\frac{1}{8}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-5,x=0$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-8x=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-4x=-15$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2y-8x=-10,3y-4x=-15$$

2y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\left(-10\right),2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\left(-15\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6y-24x=-30,6y-8x=-30$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6y-24x=-30-இலிருந்து 6y-8x=-30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6y-6y-24x+8x=-30+30$$

-6y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6y மற்றும் -6y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-24x+8x=-30+30$$

8x-க்கு -24x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16x=-30+30$$

30-க்கு -30-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16x=0$$

இரு பக்கங்களையும் -16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

3y-4x=-15-இல் x-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y=-15$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-5,x=0$$