{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x_{1}-ஐத் தனிப்படுத்தி x_{1}-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x_{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

-3x_{2}+7-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

பிற சமன்பாடு 4x_{1}-4x_{2}=-6-இல் x_{1}-க்கு \frac{-3x_{2}+7}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

\frac{-3x_{2}+7}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-4x_{2}-க்கு -6x_{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10x_{2}+14=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10x_{2}=-20$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}-இல் x_{2}-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

2-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

-3-க்கு \frac{7}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x_{1} மற்றும் x_{2}-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} மற்றும் 4x_{1}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x_{1}+12x_{2}=28-இலிருந்து 8x_{1}-8x_{2}=-12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

-8x_{1}-க்கு 8x_{1}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x_{1} மற்றும் -8x_{1} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{2}-க்கு 12x_{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$20x_{2}=28+12$$

12-க்கு 28-ஐக் கூட்டவும்.

$$20x_{2}=40$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6-இல் x_{2}-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x_{1}-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

2-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$4x_{1}-8=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x_{1}=2$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$