{l}{2x-y=13}{-2x-5y=17}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 2 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=-5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-y=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=y+13$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

y+13-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

பிற சமன்பாடு -2x-5y=17-இல் x-க்கு \frac{13+y}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-5y=17$$

\frac{13+y}{2}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-y-13-5y=17$$

-5y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y-13=17$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 13-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=30$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-5$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}-இல் y-க்கு -5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{13}{2}$$

-5-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-5+13}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{5}{2} உடன் \frac{13}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=-5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 13-\frac{1}{12}\times 17\\-\frac{1}{6}\times 13-\frac{1}{6}\times 17\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=-5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

2x மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 2x-2\left(-1\right)y=-2\times 13,2\left(-2\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 17$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-4x+2y=-26,-4x-10y=34$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -4x+2y=-26-இலிருந்து -4x-10y=34-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x+4x+2y+10y=-26-34$$

4x-க்கு -4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -4x மற்றும் 4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2y+10y=-26-34$$

10y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$12y=-26-34$$

-34-க்கு -26-ஐக் கூட்டவும்.

$$12y=-60$$

இரு பக்கங்களையும் 12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-5$$

-2x-5y=17-இல் y-க்கு -5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x-5\left(-5\right)=17$$

-5-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x+25=17$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x=-8$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=-5$$