{l}{2x-y=-2}{y=5x-1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = - 2 } \\ { y = 5 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-5x=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=y-2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-2\right)$$

y-2-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

பிற சமன்பாடு -5x+y=-1-இல் x-க்கு \frac{y}{2}-1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-1\right)+y=-1$$

\frac{y}{2}-1-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{5}{2}y+5+y=-1$$

y-க்கு -\frac{5y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{3}{2}y+5=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{3}{2}y=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{3}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=4$$

x=\frac{1}{2}y-1-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{2}\times 4-1$$

4-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=2-1$$

2-க்கு -1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-5x=-1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\-\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-5x=-1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-y=-2,-5x+y=-1$$

2x மற்றும் -5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-5\times 2x-5\left(-1\right)y=-5\left(-2\right),2\left(-5\right)x+2y=2\left(-1\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-10x+5y=10,-10x+2y=-2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -10x+5y=10-இலிருந்து -10x+2y=-2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10x+10x+5y-2y=10+2$$

10x-க்கு -10x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -10x மற்றும் 10x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5y-2y=10+2$$

-2y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=10+2$$

2-க்கு 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=12$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

-5x+y=-1-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-5x+4=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x=-5$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=4$$