{l}{2x-5y=4}{3x+2y=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-5y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=5y+4$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

5y+4-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

பிற சமன்பாடு 3x+2y=8-இல் x-க்கு \frac{5y}{2}+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=8$$

\frac{5y}{2}+2-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=8$$

2y-க்கு \frac{15y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{19}{2}y+6=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{19}{2}y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{19}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{4}{19}$$

x=\frac{5}{2}y+2-இல் y-க்கு \frac{4}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{4}{19}+2$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{4}{19}-ஐ \frac{5}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{10}{19}+2$$

\frac{10}{19}-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{48}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 8\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-5y=4,3x+2y=8$$

2x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x-15y=12,6x+4y=16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x-15y=12-இலிருந்து 6x+4y=16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x-15y-4y=12-16$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-15y-4y=12-16$$

-4y-க்கு -15y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19y=12-16$$

-16-க்கு 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19y=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4}{19}$$

3x+2y=8-இல் y-க்கு \frac{4}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+2\times \frac{4}{19}=8$$

\frac{4}{19}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+\frac{8}{19}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{8}{19}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=\frac{144}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{48}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{48}{19},y=\frac{4}{19}$$