{l}{2x-5y=100}{4x+y=120}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-5y=100$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=5y+100$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

100+5y-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

பிற சமன்பாடு 4x+y=120-இல் x-க்கு 50+\frac{5y}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

50+\frac{5y}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$10y+200+y=120$$

y-க்கு 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$11y+200=120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 200-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11y=-80$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{80}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+50-இல் y-க்கு -\frac{80}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{80}{11}-ஐ \frac{5}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

-\frac{200}{11}-க்கு 50-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{350}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x-20y=400-இலிருந்து 8x+2y=240-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-20y-2y=400-240$$

-2y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=400-240$$

-240-க்கு 400-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=160$$

இரு பக்கங்களையும் -22-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{80}{11}$$

4x+y=120-இல் y-க்கு -\frac{80}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{80}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{350}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$