{l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{1}{2} மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 8-ஐ y-\frac{1}{2}-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y-4=9x+9-4$$

9-இலிருந்து 4-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 5.

$$8y-4=9x+5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8y-4-9x=5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8y-9x=5+4$$

5 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 9.

$$8y-9x=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

-4y+\frac{5}{2}-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

பிற சமன்பாடு -9x+8y=9-இல் x-க்கு -2y+\frac{5}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

-2y+\frac{5}{4}-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

8y-க்கு 18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{45}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$26y=\frac{81}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 26-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{81}{104}$$

x=-2y+\frac{5}{4}-இல் y-க்கு \frac{81}{104}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

\frac{81}{104}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{81}{52} உடன் \frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{1}{2} மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 8-ஐ y-\frac{1}{2}-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y-4=9x+9-4$$

9-இலிருந்து 4-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 5.

$$8y-4=9x+5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8y-4-9x=5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8y-9x=5+4$$

5 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 9.

$$8y-9x=9$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{1}{2} மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு \frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 8-ஐ y-\frac{1}{2}-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8y-4=9x+9-4$$

9-இலிருந்து 4-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 5.

$$8y-4=9x+5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8y-4-9x=5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8y-9x=5+4$$

5 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 9.

$$8y-9x=9$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

2x மற்றும் -9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -18x-36y=-\frac{45}{2}-இலிருந்து -18x+16y=18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

18x-க்கு -18x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -18x மற்றும் 18x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

-16y-க்கு -36y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

-18-க்கு -\frac{45}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -52-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{81}{104}$$

-9x+8y=9-இல் y-க்கு \frac{81}{104}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

\frac{81}{104}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{81}{13}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் -9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$