{l}{2x+y=-6}{y=7x+3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-1$$

$$y=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-7x=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+y=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-y-6$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

-y-6-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

பிற சமன்பாடு -7x+y=3-இல் x-க்கு -\frac{y}{2}-3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

-\frac{y}{2}-3-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

y-க்கு \frac{7y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 21-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{9}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{2}y-3-இல் y-க்கு -4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

-4-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=2-3$$

2-க்கு -3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=-4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-7x=3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-1,y=-4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-7x=3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2x+y=-6-இலிருந்து -7x+y=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

-y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் y மற்றும் -y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2x+7x=-6-3$$

7x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=-6-3$$

-3-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=-9$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-1$$

-7x+y=3-இல் x-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

-1-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$7+y=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=-4$$