{l}{2x+9y=19}{4x+my=53}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+9y=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-9y+19$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

-9y+19-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

பிற சமன்பாடு 4x+my=53-இல் x-க்கு \frac{-9y+19}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

\frac{-9y+19}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-18y+38+my=53$$

my-க்கு -18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 38-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(m-18\right)y=15$$

இரு பக்கங்களையும் -18+m-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}-இல் y-க்கு \frac{15}{-18+m}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

\frac{15}{-18+m}-ஐ -\frac{9}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

-\frac{135}{2\left(-18+m\right)}-க்கு \frac{19}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x+36y=76-இலிருந்து 8x+2my=106-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

-2my-க்கு 36y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

-106-க்கு 76-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

இரு பக்கங்களையும் 36-2m-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

4x+my=53-இல் y-க்கு -\frac{15}{18-m}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

-\frac{15}{18-m}-ஐ m முறை பெருக்கவும்.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{15m}{18-m}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$