{l}{2x+6y=21}{9x-3y=10}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 21 } \\ { 9 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{41}{20} = 2\frac{1}{20} = 2.05$$

$$y = \frac{169}{60} = 2\frac{49}{60} \approx 2.816666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+6y=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-6y+21$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+21\right)$$

-6y+21-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-3y+\frac{21}{2}$$

பிற சமன்பாடு 9x-3y=10-இல் x-க்கு -3y+\frac{21}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-3y+\frac{21}{2}\right)-3y=10$$

-3y+\frac{21}{2}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-27y+\frac{189}{2}-3y=10$$

-3y-க்கு -27y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-30y+\frac{189}{2}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{189}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-30y=-\frac{169}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{169}{60}$$

x=-3y+\frac{21}{2}-இல் y-க்கு \frac{169}{60}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-3\times \frac{169}{60}+\frac{21}{2}$$

\frac{169}{60}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{169}{20}+\frac{21}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{169}{20} உடன் \frac{21}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{41}{20}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\9&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-6\times 9}&-\frac{6}{2\left(-3\right)-6\times 9}\\-\frac{9}{2\left(-3\right)-6\times 9}&\frac{2}{2\left(-3\right)-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 21+\frac{1}{10}\times 10\\\frac{3}{20}\times 21-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{20}\\\frac{169}{60}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+6y=21,9x-3y=10$$

2x மற்றும் 9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9\times 2x+9\times 6y=9\times 21,2\times 9x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

எளிமையாக்கவும்.

$$18x+54y=189,18x-6y=20$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 18x+54y=189-இலிருந்து 18x-6y=20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18x-18x+54y+6y=189-20$$

-18x-க்கு 18x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 18x மற்றும் -18x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$54y+6y=189-20$$

6y-க்கு 54y-ஐக் கூட்டவும்.

$$60y=189-20$$

-20-க்கு 189-ஐக் கூட்டவும்.

$$60y=169$$

இரு பக்கங்களையும் 60-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{169}{60}$$

9x-3y=10-இல் y-க்கு \frac{169}{60}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9x-3\times \frac{169}{60}=10$$

\frac{169}{60}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$9x-\frac{169}{20}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{169}{20}-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=\frac{369}{20}$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{41}{20}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{41}{20},y=\frac{169}{60}$$