{l}{2x+3y=8}{6x-3y=10}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+3y=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-3y+8$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

-3y+8-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

பிற சமன்பாடு 6x-3y=10-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

-\frac{3y}{2}+4-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-9y+24-3y=10$$

-3y-க்கு -9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-12y+24=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-12y=-14$$

இரு பக்கங்களையும் -12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{7}{6}$$

x=-\frac{3}{2}y+4-இல் y-க்கு \frac{7}{6}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{7}{6}-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

-\frac{7}{4}-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{9}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

2x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x+18y=48-இலிருந்து 12x-6y=20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$18y+6y=48-20$$

6y-க்கு 18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$24y=48-20$$

-20-க்கு 48-ஐக் கூட்டவும்.

$$24y=28$$

இரு பக்கங்களையும் 24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{7}{6}$$

6x-3y=10-இல் y-க்கு \frac{7}{6}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

\frac{7}{6}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{7}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=\frac{27}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{9}{4}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$