{l}{2x+3y=5}{5x+7y=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 5 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-11$$

$$y=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+3y=5,5x+7y=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+3y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-3y+5$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

பிற சமன்பாடு 5x+7y=8-இல் x-க்கு \frac{-3y+5}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+7y=8$$

\frac{-3y+5}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{25}{2}+7y=8$$

7y-க்கு -\frac{15y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{25}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{9}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=9$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\times 9+\frac{5}{2}$$

9-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-27+5}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{27}{2} உடன் \frac{5}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-11$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-11,y=9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y=5,5x+7y=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 7-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-3\times 5}&\frac{2}{2\times 7-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\times 5+3\times 8\\5\times 5-2\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-11,y=9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+3y=5,5x+7y=8$$

2x மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 5,2\times 5x+2\times 7y=2\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$10x+15y=25,10x+14y=16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 10x+15y=25-இலிருந்து 10x+14y=16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x-10x+15y-14y=25-16$$

-10x-க்கு 10x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 10x மற்றும் -10x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$15y-14y=25-16$$

-14y-க்கு 15y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=25-16$$

-16-க்கு 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=9$$

5x+7y=8-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x+7\times 9=8$$

9-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$5x+63=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 63-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-55$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-11$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-11,y=9$$