{l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

w, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$w=1050$$

$$n=2950$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் w-ஐத் தனிப்படுத்தி w-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2w+n=5050$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2w=-n+5050$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

-n+5050-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

பிற சமன்பாடு 3w+2n=9050-இல் w-க்கு -\frac{n}{2}+2525-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

-\frac{n}{2}+2525-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

2n-க்கு -\frac{3n}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7575-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$n=2950$$

w=-\frac{1}{2}n+2525-இல் n-க்கு 2950-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக w-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

2950-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$w=-1475+2525$$

-1475-க்கு 2525-ஐக் கூட்டவும்.

$$w=1050$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$w=1050,n=2950$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் w மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$w=1050,n=2950$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

2w மற்றும் 3w-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6w+3n=15150-இலிருந்து 6w+4n=18100-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

-6w-க்கு 6w-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6w மற்றும் -6w ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3n-4n=15150-18100$$

-4n-க்கு 3n-ஐக் கூட்டவும்.

$$-n=15150-18100$$

-18100-க்கு 15150-ஐக் கூட்டவும்.

$$-n=-2950$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=2950$$

3w+2n=9050-இல் n-க்கு 2950-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக w-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3w+2\times 2950=9050$$

2950-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3w+5900=9050$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5900-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3w=3150$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$w=1050$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$w=1050,n=2950$$