{l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2}-ஐ ஒற்றை பின்னமாகக் காட்டவும்.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2 மற்றும் அதன் தலைகீழியான \frac{1}{2}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

\frac{3}{2} மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 3.

$$2x+8y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

-y+\frac{1}{4}-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

பிற சமன்பாடு 2x+8y=3-இல் x-க்கு -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

-\frac{y}{3}+\frac{1}{12}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

8y-க்கு -\frac{2y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{6}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{22}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{17}{44}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}-இல் y-க்கு \frac{17}{44}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{17}{44}-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{17}{132} உடன் \frac{1}{12}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{22}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2}-ஐ ஒற்றை பின்னமாகக் காட்டவும்.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2 மற்றும் அதன் தலைகீழியான \frac{1}{2}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

\frac{3}{2} மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 3.

$$2x+8y=3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2}-ஐ ஒற்றை பின்னமாகக் காட்டவும்.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 2 மற்றும் அதன் தலைகீழியான \frac{1}{2}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

\frac{3}{2} மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 3.

$$2x+8y=3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

3x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x+2y=\frac{1}{2}-இலிருந்து 6x+24y=9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

-24y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

-9-க்கு \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -22-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{17}{44}$$

2x+8y=3-இல் y-க்கு \frac{17}{44}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

\frac{17}{44}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{34}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{22}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$