{l}{16x+2y=340}{2x+2y=180}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x + 2 y = 340 } \\ { 2 x + 2 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{80}{7} = 11\frac{3}{7} \approx 11.428571429$$

$$y = \frac{550}{7} = 78\frac{4}{7} \approx 78.571428571$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$16x+2y=340$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$16x=-2y+340$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y+340\right)$$

-2y+340-ஐ \frac{1}{16} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}$$

பிற சமன்பாடு 2x+2y=180-இல் x-க்கு -\frac{y}{8}+\frac{85}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}\right)+2y=180$$

-\frac{y}{8}+\frac{85}{4}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{85}{2}+2y=180$$

2y-க்கு -\frac{y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{4}y+\frac{85}{2}=180$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{85}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{7}{4}y=\frac{275}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{550}{7}$$

x=-\frac{1}{8}y+\frac{85}{4}-இல் y-க்கு \frac{550}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{550}{7}+\frac{85}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{550}{7}-ஐ -\frac{1}{8} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{275}{28}+\frac{85}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{275}{28} உடன் \frac{85}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{80}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}\\-\frac{2}{16\times 2-2\times 2}&\frac{16}{16\times 2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}340\\180\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 340-\frac{1}{14}\times 180\\-\frac{1}{14}\times 340+\frac{4}{7}\times 180\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{7}\\\frac{550}{7}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$16x+2y=340,2x+2y=180$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 16x+2y=340-இலிருந்து 2x+2y=180-ஐக் கழிக்கவும்.

$$16x-2x+2y-2y=340-180$$

-2y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2y மற்றும் -2y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$16x-2x=340-180$$

-2x-க்கு 16x-ஐக் கூட்டவும்.

$$14x=340-180$$

-180-க்கு 340-ஐக் கூட்டவும்.

$$14x=160$$

இரு பக்கங்களையும் 14-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{80}{7}$$

2x+2y=180-இல் x-க்கு \frac{80}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2\times \frac{80}{7}+2y=180$$

\frac{80}{7}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{160}{7}+2y=180$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{160}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y=\frac{1100}{7}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{550}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{80}{7},y=\frac{550}{7}$$