{l}{15x-5y=4000}{9x-2y=4000}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x - 5 y = 4000 } \\ { 9 x - 2 y = 4000 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=800$$

$$y=1600$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$15x-5y=4000$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$15x=5y+4000$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{15}\left(5y+4000\right)$$

4000+5y-ஐ \frac{1}{15} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}$$

பிற சமன்பாடு 9x-2y=4000-இல் x-க்கு \frac{800+y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}\right)-2y=4000$$

\frac{800+y}{3}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$3y+2400-2y=4000$$

-2y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y+2400=4000$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2400-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=1600$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{800}{3}-இல் y-க்கு 1600-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{3}\times 1600+\frac{800}{3}$$

1600-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1600+800}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1600}{3} உடன் \frac{800}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=800$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=800,y=1600$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\\-\frac{3}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4000\\4000\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 4000+\frac{1}{3}\times 4000\\-\frac{3}{5}\times 4000+4000\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\1600\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=800,y=1600$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$15x-5y=4000,9x-2y=4000$$

15x மற்றும் 9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 15-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9\times 15x+9\left(-5\right)y=9\times 4000,15\times 9x+15\left(-2\right)y=15\times 4000$$

எளிமையாக்கவும்.

$$135x-45y=36000,135x-30y=60000$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 135x-45y=36000-இலிருந்து 135x-30y=60000-ஐக் கழிக்கவும்.

$$135x-135x-45y+30y=36000-60000$$

-135x-க்கு 135x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 135x மற்றும் -135x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-45y+30y=36000-60000$$

30y-க்கு -45y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=36000-60000$$

-60000-க்கு 36000-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=-24000$$

இரு பக்கங்களையும் -15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1600$$

9x-2y=4000-இல் y-க்கு 1600-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9x-2\times 1600=4000$$

1600-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$9x-3200=4000$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3200-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=7200$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=800$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=800,y=1600$$