{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$15x+107y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 107y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15x=-107y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

-107y+1-ஐ \frac{1}{15} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

பிற சமன்பாடு 71x+179y=-287-இல் x-க்கு \frac{-107y+1}{15}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

\frac{-107y+1}{15}-ஐ 71 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

179y-க்கு -\frac{7597y}{15}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{71}{15}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{4912}{15}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{547}{614}$$

x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}-இல் y-க்கு \frac{547}{614}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{547}{614}-ஐ -\frac{107}{15} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{58529}{9210} உடன் \frac{1}{15}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x மற்றும் 71x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 71-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 15-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 1065x+7597y=71-இலிருந்து 1065x+2685y=-4305-ஐக் கழிக்கவும்.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

-1065x-க்கு 1065x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 1065x மற்றும் -1065x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7597y-2685y=71+4305$$

-2685y-க்கு 7597y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4912y=71+4305$$

4305-க்கு 71-ஐக் கூட்டவும்.

$$4912y=4376$$

இரு பக்கங்களையும் 4912-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{547}{614}$$

71x+179y=-287-இல் y-க்கு \frac{547}{614}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

\frac{547}{614}-ஐ 179 முறை பெருக்கவும்.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{97913}{614}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

இரு பக்கங்களையும் 71-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$