{l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$13x+20y=48$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$13x=-20y+48$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

-20y+48-ஐ \frac{1}{13} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

பிற சமன்பாடு 20x+93y=1-இல் x-க்கு \frac{-20y+48}{13}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

\frac{-20y+48}{13}-ஐ 20 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

93y-க்கு -\frac{400y}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{960}{13}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{809}{13}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}-இல் y-க்கு -\frac{947}{809}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{947}{809}-ஐ -\frac{20}{13} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{18940}{10517} உடன் \frac{48}{13}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{4444}{809}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x மற்றும் 20x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 20-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 13-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

எளிமையாக்கவும்.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 260x+400y=960-இலிருந்து 260x+1209y=13-ஐக் கழிக்கவும்.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

-260x-க்கு 260x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 260x மற்றும் -260x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$400y-1209y=960-13$$

-1209y-க்கு 400y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-809y=960-13$$

-13-க்கு 960-ஐக் கூட்டவும்.

$$-809y=947$$

இரு பக்கங்களையும் -809-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1-இல் y-க்கு -\frac{947}{809}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

-\frac{947}{809}-ஐ 93 முறை பெருக்கவும்.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{88071}{809}-ஐக் கூட்டவும்.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{4444}{809}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$