{l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=-1$$

$$b=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$12a+4b=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12a=-4b-4$$

இரு பக்கங்களையும் 12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

-4b-4-ஐ \frac{1}{12} முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

பிற சமன்பாடு 3a-9b=-21-இல் a-க்கு \frac{-b-1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

\frac{-b-1}{3}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-b-1-9b=-21$$

-9b-க்கு -b-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10b-1=-21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10b=-20$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}-இல் b-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

2-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{2}{3} உடன் -\frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=-1,b=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=-1,b=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a மற்றும் 3a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 12-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 36a+12b=-12-இலிருந்து 36a-108b=-252-ஐக் கழிக்கவும்.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

-36a-க்கு 36a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 36a மற்றும் -36a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12b+108b=-12+252$$

108b-க்கு 12b-ஐக் கூட்டவும்.

$$120b=-12+252$$

252-க்கு -12-ஐக் கூட்டவும்.

$$120b=240$$

இரு பக்கங்களையும் 120-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=2$$

3a-9b=-21-இல் b-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3a-9\times 2=-21$$

2-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$3a-18=-21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$3a=-3$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=-1,b=2$$