{l}{110b+218c=-93}{109b+227c=-99}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 110 b + 218 c = - 93 } \\ { 109 b + 227 c = - 99 } \end{array} \right.$$

b, c-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$b=\frac{471}{1208}\approx 0.389900662$$

$$c=-\frac{753}{1208}\approx -0.623344371$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் b-ஐத் தனிப்படுத்தி b-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$110b+218c=-93$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 218c-ஐக் கழிக்கவும்.

$$110b=-218c-93$$

இரு பக்கங்களையும் 110-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{1}{110}\left(-218c-93\right)$$

-218c-93-ஐ \frac{1}{110} முறை பெருக்கவும்.

$$b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}$$

பிற சமன்பாடு 109b+227c=-99-இல் b-க்கு -\frac{109c}{55}-\frac{93}{110}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$109\left(-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}\right)+227c=-99$$

-\frac{109c}{55}-\frac{93}{110}-ஐ 109 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{11881}{55}c-\frac{10137}{110}+227c=-99$$

227c-க்கு -\frac{11881c}{55}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{604}{55}c-\frac{10137}{110}=-99$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{10137}{110}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{604}{55}c=-\frac{753}{110}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{604}{55}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

b=-\frac{109}{55}c-\frac{93}{110}-இல் c-க்கு -\frac{753}{1208}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$b=-\frac{109}{55}\left(-\frac{753}{1208}\right)-\frac{93}{110}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{753}{1208}-ஐ -\frac{109}{55} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$b=\frac{82077}{66440}-\frac{93}{110}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{82077}{66440} உடன் -\frac{93}{110}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$b=\frac{471}{1208}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}110&218\\109&227\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{110\times 227-218\times 109}&-\frac{218}{110\times 227-218\times 109}\\-\frac{109}{110\times 227-218\times 109}&\frac{110}{110\times 227-218\times 109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}&-\frac{109}{604}\\-\frac{109}{1208}&\frac{55}{604}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-93\\-99\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{227}{1208}\left(-93\right)-\frac{109}{604}\left(-99\right)\\-\frac{109}{1208}\left(-93\right)+\frac{55}{604}\left(-99\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{471}{1208}\\-\frac{753}{1208}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் b மற்றும் c-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$110b+218c=-93,109b+227c=-99$$

110b மற்றும் 109b-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 109-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 110-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$109\times 110b+109\times 218c=109\left(-93\right),110\times 109b+110\times 227c=110\left(-99\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$11990b+23762c=-10137,11990b+24970c=-10890$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 11990b+23762c=-10137-இலிருந்து 11990b+24970c=-10890-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11990b-11990b+23762c-24970c=-10137+10890$$

-11990b-க்கு 11990b-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 11990b மற்றும் -11990b ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$23762c-24970c=-10137+10890$$

-24970c-க்கு 23762c-ஐக் கூட்டவும்.

$$-1208c=-10137+10890$$

10890-க்கு -10137-ஐக் கூட்டவும்.

$$-1208c=753$$

இரு பக்கங்களையும் -1208-ஆல் வகுக்கவும்.

$$c=-\frac{753}{1208}$$

109b+227c=-99-இல் c-க்கு -\frac{753}{1208}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$109b+227\left(-\frac{753}{1208}\right)=-99$$

-\frac{753}{1208}-ஐ 227 முறை பெருக்கவும்.

$$109b-\frac{170931}{1208}=-99$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{170931}{1208}-ஐக் கூட்டவும்.

$$109b=\frac{51339}{1208}$$

இரு பக்கங்களையும் 109-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{471}{1208}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$b=\frac{471}{1208},c=-\frac{753}{1208}$$