{l}{0.4x+0.6y=132}{x+y=240}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.6 y = 132 } \\ { x + y = 240 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=60$$

$$y=180$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$0.4x+0.6y=132$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{3y}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.4x=-0.6y+132$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.4-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=2.5\left(-0.6y+132\right)$$

-\frac{3y}{5}+132-ஐ 2.5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-1.5y+330$$

பிற சமன்பாடு x+y=240-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}+330-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-1.5y+330+y=240$$

y-க்கு -\frac{3y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.5y+330=240$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 330-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-0.5y=-90$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=180$$

x=-1.5y+330-இல் y-க்கு 180-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-1.5\times 180+330$$

180-ஐ -1.5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-270+330$$

-270-க்கு 330-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=60$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=60,y=180$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.4-0.6}&-\frac{0.6}{0.4-0.6}\\-\frac{1}{0.4-0.6}&\frac{0.4}{0.4-0.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}132\\240\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 132+3\times 240\\5\times 132-2\times 240\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\180\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=60,y=180$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$0.4x+0.6y=132,x+y=240$$

\frac{2x}{5} மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 0.4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=0.4\times 240$$

எளிமையாக்கவும்.

$$0.4x+0.6y=132,0.4x+0.4y=96$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 0.4x+0.6y=132-இலிருந்து 0.4x+0.4y=96-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.4x-0.4x+0.6y-0.4y=132-96$$

-\frac{2x}{5}-க்கு \frac{2x}{5}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{2x}{5} மற்றும் -\frac{2x}{5} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$0.6y-0.4y=132-96$$

-\frac{2y}{5}-க்கு \frac{3y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.2y=132-96$$

-96-க்கு 132-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.2y=36$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=180$$

x+y=240-இல் y-க்கு 180-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+180=240$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 180-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=60$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=60,y=180$$