{l}{0=30a+6b+8}{4=4a-2b+8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = 30 a + 6 b + 8 } \\ { 4 = 4 a - 2 b + 8 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=-\frac{10}{21}\approx -0.476190476$$

$$b = \frac{22}{21} = 1\frac{1}{21} \approx 1.047619048$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$30a+6b+8=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$30a+6b=-8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$4a-2b+8=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a-2b=4-8$$

4-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -4.

$$4a-2b=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$30a+6b=-8,4a-2b=-4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$30a+6b=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$30a=-6b-8$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{30}\left(-6b-8\right)$$

-6b-8-ஐ \frac{1}{30} முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{1}{5}b-\frac{4}{15}$$

பிற சமன்பாடு 4a-2b=-4-இல் a-க்கு -\frac{b}{5}-\frac{4}{15}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{1}{5}b-\frac{4}{15}\right)-2b=-4$$

-\frac{b}{5}-\frac{4}{15}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{4}{5}b-\frac{16}{15}-2b=-4$$

-2b-க்கு -\frac{4b}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{14}{5}b-\frac{16}{15}=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{16}{15}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{14}{5}b=-\frac{44}{15}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{14}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$b=\frac{22}{21}$$

a=-\frac{1}{5}b-\frac{4}{15}-இல் b-க்கு \frac{22}{21}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-\frac{1}{5}\times \frac{22}{21}-\frac{4}{15}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{22}{21}-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=-\frac{22}{105}-\frac{4}{15}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{22}{105} உடன் -\frac{4}{15}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=-\frac{10}{21}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=-\frac{10}{21},b=\frac{22}{21}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$30a+6b+8=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$30a+6b=-8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$4a-2b+8=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a-2b=4-8$$

4-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -4.

$$4a-2b=-4$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$30a+6b=-8,4a-2b=-4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{30\left(-2\right)-6\times 4}&-\frac{6}{30\left(-2\right)-6\times 4}\\-\frac{4}{30\left(-2\right)-6\times 4}&\frac{30}{30\left(-2\right)-6\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{14}\\\frac{1}{21}&-\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-8\right)+\frac{1}{14}\left(-4\right)\\\frac{1}{21}\left(-8\right)-\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{21}\\\frac{22}{21}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=-\frac{10}{21},b=\frac{22}{21}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$30a+6b+8=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$30a+6b=-8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$4a-2b+8=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a-2b=4-8$$

4-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -4.

$$4a-2b=-4$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$30a+6b=-8,4a-2b=-4$$

30a மற்றும் 4a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 30-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 30a+4\times 6b=4\left(-8\right),30\times 4a+30\left(-2\right)b=30\left(-4\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$120a+24b=-32,120a-60b=-120$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 120a+24b=-32-இலிருந்து 120a-60b=-120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$120a-120a+24b+60b=-32+120$$

-120a-க்கு 120a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 120a மற்றும் -120a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$24b+60b=-32+120$$

60b-க்கு 24b-ஐக் கூட்டவும்.

$$84b=-32+120$$

120-க்கு -32-ஐக் கூட்டவும்.

$$84b=88$$

இரு பக்கங்களையும் 84-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{22}{21}$$

4a-2b=-4-இல் b-க்கு \frac{22}{21}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4a-2\times \frac{22}{21}=-4$$

\frac{22}{21}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$4a-\frac{44}{21}=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{44}{21}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4a=-\frac{40}{21}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=-\frac{10}{21}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=-\frac{10}{21},b=\frac{22}{21}$$