{l}{-9y=13x+81}{1/9y=1+5/81x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 y = 13 x + 81 } \\ { \frac { 1 } { 9 } y = 1 + \frac { 5 } { 81 } x } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-9$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 13x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9y-13x=81$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{81}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-9y-13x=81$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 13x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-9y=13x+81$$

இரு பக்கங்களையும் -9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{9}\left(13x+81\right)$$

13x+81-ஐ -\frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{13}{9}x-9$$

பிற சமன்பாடு \frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1-இல் y-க்கு -\frac{13x}{9}-9-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{9}\left(-\frac{13}{9}x-9\right)-\frac{5}{81}x=1$$

-\frac{13x}{9}-9-ஐ \frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{13}{81}x-1-\frac{5}{81}x=1$$

-\frac{5x}{81}-க்கு -\frac{13x}{81}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{2}{9}x-1=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{2}{9}x=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{2}{9}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-9$$

y=-\frac{13}{9}x-9-இல் x-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{13}{9}\left(-9\right)-9$$

-9-ஐ -\frac{13}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$y=13-9$$

13-க்கு -9-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=4,x=-9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 13x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9y-13x=81$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{81}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-13\\\frac{1}{9}&-\frac{5}{81}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{5}{81}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{-13}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\\-\frac{\frac{1}{9}}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}&-\frac{9}{-9\left(-\frac{5}{81}\right)-\left(-13\times \frac{1}{9}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}&\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}81\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{162}\times 81+\frac{13}{2}\\-\frac{1}{18}\times 81-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=4,x=-9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 13x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9y-13x=81$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{81}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-9y-13x=81,\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1$$

-9y மற்றும் \frac{y}{9}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{9}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{9}\left(-9\right)y+\frac{1}{9}\left(-13\right)x=\frac{1}{9}\times 81,-9\times \frac{1}{9}y-9\left(-\frac{5}{81}\right)x=-9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-y-\frac{13}{9}x=9,-y+\frac{5}{9}x=-9$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -y-\frac{13}{9}x=9-இலிருந்து -y+\frac{5}{9}x=-9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y+y-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -y மற்றும் y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-\frac{13}{9}x-\frac{5}{9}x=9+9$$

-\frac{5x}{9}-க்கு -\frac{13x}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=9+9$$

9-க்கு 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=18$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-9$$

\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}x=1-இல் x-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{1}{9}y-\frac{5}{81}\left(-9\right)=1$$

-9-ஐ -\frac{5}{81} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{9}y+\frac{5}{9}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{9}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{9}y=\frac{4}{9}$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=4,x=-9$$