{l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-9x+6y=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x=-6y+13$$

இரு பக்கங்களையும் -9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-6y+13-ஐ -\frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

பிற சமன்பாடு cx+8y=-12-இல் x-க்கு \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

\frac{2y}{3}-\frac{13}{9}-ஐ c முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

8y-க்கு \frac{2cy}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{13c}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

இரு பக்கங்களையும் \frac{2c}{3}+8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}-இல் y-க்கு \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}-க்கு -\frac{13}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x மற்றும் cx-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் c-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \left(-9c\right)x+6cy=13c-இலிருந்து \left(-9c\right)x-72y=108-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

9cx-க்கு -9cx-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -9cx மற்றும் 9cx ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6cy+72y=13c-108$$

72y-க்கு 6cy-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

இரு பக்கங்களையும் 72+6c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12-இல் y-க்கு \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

இரு பக்கங்களையும் c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$