{l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-8x+7y=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-8x=-7y+13$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

-7y+13-ஐ -\frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

பிற சமன்பாடு 7x-9y=-20-இல் x-க்கு \frac{7y-13}{8}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

\frac{7y-13}{8}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

-9y-க்கு \frac{49y}{8}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{91}{8}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{23}{8}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=3$$

x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

3-ஐ \frac{7}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{21}{8} உடன் -\frac{13}{8}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

-8x மற்றும் 7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -8-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -56x+49y=91-இலிருந்து -56x+72y=160-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

56x-க்கு -56x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -56x மற்றும் 56x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$49y-72y=91-160$$

-72y-க்கு 49y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-23y=91-160$$

-160-க்கு 91-ஐக் கூட்டவும்.

$$-23y=-69$$

இரு பக்கங்களையும் -23-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

7x-9y=-20-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7x-9\times 3=-20$$

3-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$7x-27=-20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 27-ஐக் கூட்டவும்.

$$7x=7$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=3$$