{l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-8x+4y=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-8x=-4y+8$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

-4y+8-ஐ -\frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

பிற சமன்பாடு 8x-y=16-இல் x-க்கு \frac{y}{2}-1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

\frac{y}{2}-1-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$4y-8-y=16$$

-y-க்கு 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y-8=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=24$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=8$$

x=\frac{1}{2}y-1-இல் y-க்கு 8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

8-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=4-1$$

4-க்கு -1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=8$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=8$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

-8x மற்றும் 8x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -8-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -64x+32y=64-இலிருந்து -64x+8y=-128-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

64x-க்கு -64x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -64x மற்றும் 64x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$32y-8y=64+128$$

-8y-க்கு 32y-ஐக் கூட்டவும்.

$$24y=64+128$$

128-க்கு 64-ஐக் கூட்டவும்.

$$24y=192$$

இரு பக்கங்களையும் 24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=8$$

8x-y=16-இல் y-க்கு 8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$8x-8=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$8x=24$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=8$$