{l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-2$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-7x-8y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7x=8y-2$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

8y-2-ஐ -\frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

பிற சமன்பாடு -5x+8y=26-இல் x-க்கு \frac{-8y+2}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

\frac{-8y+2}{7}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

8y-க்கு \frac{40y}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{10}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{96}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=2$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

2-ஐ -\frac{8}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{16}{7} உடன் \frac{2}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-2,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

-7x மற்றும் -5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

எளிமையாக்கவும்.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 35x+40y=10-இலிருந்து 35x-56y=-182-ஐக் கழிக்கவும்.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

-35x-க்கு 35x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 35x மற்றும் -35x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$40y+56y=10+182$$

56y-க்கு 40y-ஐக் கூட்டவும்.

$$96y=10+182$$

182-க்கு 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$96y=192$$

இரு பக்கங்களையும் 96-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

-5x+8y=26-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-5x+8\times 2=26$$

2-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$-5x+16=26$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x=10$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=2$$