{l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -5-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-5x+5y+3y=2x$$

5y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8y.

$$-5x+8y=2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x+8y-2x=0$$

-5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x+8y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 6x+7-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2y-6x-7=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 7-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2y-6x=-2+7$$

-2 மற்றும் 7-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$2y-6x=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-7x+8y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x=-8y$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-8y-ஐ -\frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{8}{7}y$$

பிற சமன்பாடு -6x+2y=5-இல் x-க்கு \frac{8y}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

\frac{8y}{7}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

2y-க்கு -\frac{48y}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{34}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{35}{34}$$

x=\frac{8}{7}y-இல் y-க்கு -\frac{35}{34}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{35}{34}-ஐ \frac{8}{7} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{20}{17}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -5-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-5x+5y+3y=2x$$

5y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8y.

$$-5x+8y=2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x+8y-2x=0$$

-5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x+8y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 6x+7-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2y-6x-7=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 7-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2y-6x=-2+7$$

-2 மற்றும் 7-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$2y-6x=5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -5-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-5x+5y+3y=2x$$

5y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8y.

$$-5x+8y=2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x+8y-2x=0$$

-5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x+8y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 6x+7-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2y-6x-7=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 7-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2y-6x=-2+7$$

-2 மற்றும் 7-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$2y-6x=5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x மற்றும் -6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

எளிமையாக்கவும்.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 42x-48y=0-இலிருந்து 42x-14y=-35-ஐக் கழிக்கவும்.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

-42x-க்கு 42x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 42x மற்றும் -42x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-48y+14y=35$$

14y-க்கு -48y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-34y=35$$

இரு பக்கங்களையும் -34-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{35}{34}$$

-6x+2y=5-இல் y-க்கு -\frac{35}{34}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

-\frac{35}{34}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{35}{17}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{20}{17}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$