{l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=10$$

$$y=-6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-4x-10y=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4x=10y+20$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

20+10y-ஐ -\frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

பிற சமன்பாடு 8x+10y=20-இல் x-க்கு -\frac{5y}{2}-5-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

-\frac{5y}{2}-5-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$-20y-40+10y=20$$

10y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y-40=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 40-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=60$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{2}y-5-இல் y-க்கு -6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

-6-ஐ -\frac{5}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=15-5$$

15-க்கு -5-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=10,y=-6$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=10,y=-6$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

-4x மற்றும் 8x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -32x-80y=160-இலிருந்து -32x-40y=-80-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

32x-க்கு -32x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -32x மற்றும் 32x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-80y+40y=160+80$$

40y-க்கு -80y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-40y=160+80$$

80-க்கு 160-ஐக் கூட்டவும்.

$$-40y=240$$

இரு பக்கங்களையும் -40-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-6$$

8x+10y=20-இல் y-க்கு -6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

-6-ஐ 10 முறை பெருக்கவும்.

$$8x-60=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$8x=80$$

இரு பக்கங்களையும் 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=10,y=-6$$