{l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x-y-2x=-1$$

-3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5x.

$$-5x-y=-1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 2x+5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-15y=x+y-30$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-6x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x-15y-y=-30$$

-15y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -16y.

$$-7x-16y=-30$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-5x-y=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5x=y-1$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

y-1-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

பிற சமன்பாடு -7x-16y=-30-இல் x-க்கு \frac{-y+1}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

\frac{-y+1}{5}-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

-16y-க்கு \frac{7y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{7}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{73}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}-இல் y-க்கு \frac{143}{73}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{143}{73}-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{143}{365} உடன் \frac{1}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{14}{73}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x-y-2x=-1$$

-3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5x.

$$-5x-y=-1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 2x+5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-15y=x+y-30$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-6x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x-15y-y=-30$$

-15y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -16y.

$$-7x-16y=-30$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x-y-2x=-1$$

-3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5x.

$$-5x-y=-1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 2x+5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-15y=x+y-30$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-6x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x-15y-y=-30$$

-15y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -16y.

$$-7x-16y=-30$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x மற்றும் -7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 35x+7y=7-இலிருந்து 35x+80y=150-ஐக் கழிக்கவும்.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

-35x-க்கு 35x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 35x மற்றும் -35x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7y-80y=7-150$$

-80y-க்கு 7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-73y=7-150$$

-150-க்கு 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$-73y=-143$$

இரு பக்கங்களையும் -73-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30-இல் y-க்கு \frac{143}{73}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

\frac{143}{73}-ஐ -16 முறை பெருக்கவும்.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2288}{73}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{14}{73}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$