{l}{-3x+8y=-15}{10x+4y=-12}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 8 y = - 15 } \\ { 10 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{9}{23}\approx -0.391304348$$

$$y = -\frac{93}{46} = -2\frac{1}{46} \approx -2.02173913$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-3x+8y=-15,10x+4y=-12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-3x+8y=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-8y-15$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-8y-15\right)$$

-8y-15-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{8}{3}y+5$$

பிற சமன்பாடு 10x+4y=-12-இல் x-க்கு \frac{8y}{3}+5-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$10\left(\frac{8}{3}y+5\right)+4y=-12$$

\frac{8y}{3}+5-ஐ 10 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{80}{3}y+50+4y=-12$$

4y-க்கு \frac{80y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{92}{3}y+50=-12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 50-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{92}{3}y=-62$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{92}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{93}{46}$$

x=\frac{8}{3}y+5-இல் y-க்கு -\frac{93}{46}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{93}{46}\right)+5$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{93}{46}-ஐ \frac{8}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{124}{23}+5$$

-\frac{124}{23}-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{9}{23}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{9}{23},y=-\frac{93}{46}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-3x+8y=-15,10x+4y=-12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&8\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-8\times 10}&-\frac{8}{-3\times 4-8\times 10}\\-\frac{10}{-3\times 4-8\times 10}&-\frac{3}{-3\times 4-8\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{2}{23}\\\frac{5}{46}&\frac{3}{92}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\left(-15\right)+\frac{2}{23}\left(-12\right)\\\frac{5}{46}\left(-15\right)+\frac{3}{92}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\\-\frac{93}{46}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{23},y=-\frac{93}{46}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-3x+8y=-15,10x+4y=-12$$

-3x மற்றும் 10x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 10-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$10\left(-3\right)x+10\times 8y=10\left(-15\right),-3\times 10x-3\times 4y=-3\left(-12\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-30x+80y=-150,-30x-12y=36$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -30x+80y=-150-இலிருந்து -30x-12y=36-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-30x+30x+80y+12y=-150-36$$

30x-க்கு -30x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -30x மற்றும் 30x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$80y+12y=-150-36$$

12y-க்கு 80y-ஐக் கூட்டவும்.

$$92y=-150-36$$

-36-க்கு -150-ஐக் கூட்டவும்.

$$92y=-186$$

இரு பக்கங்களையும் 92-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{93}{46}$$

10x+4y=-12-இல் y-க்கு -\frac{93}{46}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$10x+4\left(-\frac{93}{46}\right)=-12$$

-\frac{93}{46}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$10x-\frac{186}{23}=-12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{186}{23}-ஐக் கூட்டவும்.

$$10x=-\frac{90}{23}$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{23}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{9}{23},y=-\frac{93}{46}$$