{l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-12x-5y=40$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-12x=5y+40$$

இரு பக்கங்களையும் -12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

40+5y-ஐ -\frac{1}{12} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

பிற சமன்பாடு 12x-11y=88-இல் x-க்கு -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

-\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}-ஐ 12 முறை பெருக்கவும்.

$$-5y-40-11y=88$$

-11y-க்கு -5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y-40=88$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 40-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16y=128$$

இரு பக்கங்களையும் -16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-8$$

x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}-இல் y-க்கு -8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

-8-ஐ -\frac{5}{12} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{10-10}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{10}{3} உடன் -\frac{10}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=-8$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=0,y=-8$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

-12x மற்றும் 12x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 12-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -12-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -144x-60y=480-இலிருந்து -144x+132y=-1056-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

144x-க்கு -144x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -144x மற்றும் 144x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-60y-132y=480+1056$$

-132y-க்கு -60y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-192y=480+1056$$

1056-க்கு 480-ஐக் கூட்டவும்.

$$-192y=1536$$

இரு பக்கங்களையும் -192-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-8$$

12x-11y=88-இல் y-க்கு -8-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

-8-ஐ -11 முறை பெருக்கவும்.

$$12x+88=88$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 88-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x=0$$

இரு பக்கங்களையும் 12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=-8$$