{l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-500$$

$$y=1000$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-0.5x+0.1y=350$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{y}{10}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

-\frac{y}{10}+350-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=0.2y-700$$

பிற சமன்பாடு 0.4x+0.2y=0-இல் x-க்கு \frac{y}{5}-700-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

\frac{y}{5}-700-ஐ 0.4 முறை பெருக்கவும்.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

\frac{y}{5}-க்கு \frac{2y}{25}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.28y-280=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 280-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.28y=280$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.28-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1000$$

x=0.2y-700-இல் y-க்கு 1000-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=0.2\times 1000-700$$

1000-ஐ 0.2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=200-700$$

200-க்கு -700-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-500$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-500,y=1000$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-500,y=1000$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

-\frac{x}{2} மற்றும் \frac{2x}{5}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 0.4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -0.5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -0.2x+0.04y=140-இலிருந்து -0.2x-0.1y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

\frac{x}{5}-க்கு -\frac{x}{5}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -\frac{x}{5} மற்றும் \frac{x}{5} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$0.04y+0.1y=140$$

\frac{y}{10}-க்கு \frac{y}{25}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.14y=140$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.14-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1000$$

0.4x+0.2y=0-இல் y-க்கு 1000-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

1000-ஐ 0.2 முறை பெருக்கவும்.

$$0.4x+200=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 200-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.4x=-200$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.4-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-500$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-500,y=1000$$