{l}{(a+1)x+(b+2)y=12}{2x+3y=4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { ( a + 1 ) x + ( b + 2 ) y = 12 } \\ { 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{4\left(b-7\right)}{3a-2b-1}\text{, }y=-\frac{4\left(5-a\right)}{3a-2b-1}\text{, }&a\neq \frac{2b+1}{3}\\x=\frac{4-3y}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=7\text{ and }a=5\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \left(b+2\right)y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(a+1\right)x=\left(-\left(b+2\right)\right)y+12$$

இரு பக்கங்களையும் a+1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{a+1}\left(\left(-\left(b+2\right)\right)y+12\right)$$

-\left(b+2\right)y+12-ஐ \frac{1}{a+1} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=4-இல் x-க்கு \frac{-by-2y+12}{a+1}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}\right)+3y=4$$

\frac{-by-2y+12}{a+1}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$\left(-\frac{2\left(b+2\right)}{a+1}\right)y+\frac{24}{a+1}+3y=4$$

3y-க்கு -\frac{2\left(b+2\right)y}{a+1}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y+\frac{24}{a+1}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{24}{a+1}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y=\frac{4\left(a-5\right)}{a+1}$$

இரு பக்கங்களையும் \frac{3a-1-2b}{a+1}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}-இல் y-க்கு \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)\times \frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}+\frac{12}{a+1}$$

\frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b}-ஐ -\frac{b+2}{a+1} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{4\left(a-5\right)\left(b+2\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-2b-1\right)}+\frac{12}{a+1}$$

-\frac{4\left(b+2\right)\left(a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-1-2b\right)}-க்கு \frac{12}{a+1}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&-\frac{b+2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\\-\frac{2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&\frac{a+1}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}&-\frac{b+2}{3a-2b-1}\\-\frac{2}{3a-2b-1}&\frac{a+1}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}\times 12+\left(-\frac{b+2}{3a-2b-1}\right)\times 4\\\left(-\frac{2}{3a-2b-1}\right)\times 12+\frac{a+1}{3a-2b-1}\times 4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}\\\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

xa+x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் a+1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\left(a+1\right)x+2\left(b+2\right)y=2\times 12,\left(a+1\right)\times 2x+\left(a+1\right)\times 3y=\left(a+1\right)\times 4$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24,\left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24-இலிருந்து \left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(2a+2\right)x+\left(-2a-2\right)x+\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

-2x-2xa-க்கு 2\left(1+a\right)x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2\left(1+a\right)x மற்றும் -2x-2xa ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

-3y-3ya-க்கு 2\left(2+b\right)y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(1+2b-3a\right)y=24-4a-4$$

-4-4a-க்கு 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(1+2b-3a\right)y=20-4a$$

இரு பக்கங்களையும் 2b+1-3a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$

2x+3y=4-இல் y-க்கு \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+3\times \frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

\frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2x+\frac{12\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{12\left(5-a\right)}{2b+1-3a}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=\frac{8\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a},y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$