{l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

A, B-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். A+B-ஐ 3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3A+3B-B=6$$

3B மற்றும் -B-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2B.

$$3A+2B=6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-இன் அடுக்கு 3-ஐ கணக்கிட்டு, 9-ஐப் பெறவும்.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B-ஐ 9-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18A+9B-B=42$$

9B மற்றும் -B-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8B.

$$18A+8B=42$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் A-ஐத் தனிப்படுத்தி A-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3A+2B=6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2B-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3A=-2B+6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

-2B+6-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

பிற சமன்பாடு 18A+8B=42-இல் A-க்கு -\frac{2B}{3}+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

-\frac{2B}{3}+2-ஐ 18 முறை பெருக்கவும்.

$$-12B+36+8B=42$$

8B-க்கு -12B-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4B+36=42$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 36-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4B=6$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$B=-\frac{3}{2}$$

A=-\frac{2}{3}B+2-இல் B-க்கு -\frac{3}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{3}{2}-ஐ -\frac{2}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$A=1+2$$

1-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$A=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். A+B-ஐ 3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3A+3B-B=6$$

3B மற்றும் -B-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2B.

$$3A+2B=6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-இன் அடுக்கு 3-ஐ கணக்கிட்டு, 9-ஐப் பெறவும்.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B-ஐ 9-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18A+9B-B=42$$

9B மற்றும் -B-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8B.

$$18A+8B=42$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் A மற்றும் B-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். A+B-ஐ 3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3A+3B-B=6$$

3B மற்றும் -B-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2B.

$$3A+2B=6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-இன் அடுக்கு 3-ஐ கணக்கிட்டு, 9-ஐப் பெறவும்.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

2A+B-ஐ 9-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$18A+9B-B=42$$

9B மற்றும் -B-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8B.

$$18A+8B=42$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

3A மற்றும் 18A-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 18-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

எளிமையாக்கவும்.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 54A+36B=108-இலிருந்து 54A+24B=126-ஐக் கழிக்கவும்.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

-54A-க்கு 54A-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 54A மற்றும் -54A ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$36B-24B=108-126$$

-24B-க்கு 36B-ஐக் கூட்டவும்.

$$12B=108-126$$

-126-க்கு 108-ஐக் கூட்டவும்.

$$12B=-18$$

இரு பக்கங்களையும் 12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$B=-\frac{3}{2}$$

18A+8B=42-இல் B-க்கு -\frac{3}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக A-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

-\frac{3}{2}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$18A-12=42$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$18A=54$$

இரு பக்கங்களையும் 18-ஆல் வகுக்கவும்.

$$A=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$