{l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$y=18$$

$$z=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+2z=4\times 3$$

4 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 12.

$$y+2z=12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5y+2\times 7z=48$$

2 மற்றும் 7-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 14.

$$5y+14z=48$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y+2z=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-2z+12$$

பிற சமன்பாடு 5y+14z=48-இல் y-க்கு -2z+12-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

-2z+12-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-10z+60+14z=48$$

14z-க்கு -10z-ஐக் கூட்டவும்.

$$4z+60=48$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 60-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4z=-12$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=-3$$

y=-2z+12-இல் z-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-3-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$y=6+12$$

6-க்கு 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=18$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=18,z=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+2z=4\times 3$$

4 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 12.

$$y+2z=12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5y+2\times 7z=48$$

2 மற்றும் 7-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 14.

$$5y+14z=48$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் z-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=18,z=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y+2z=4\times 3$$

4 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 12.

$$y+2z=12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5y+2\times 7z=48$$

2 மற்றும் 7-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 14.

$$5y+14z=48$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y மற்றும் 5y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

எளிமையாக்கவும்.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5y+10z=60-இலிருந்து 5y+14z=48-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

-5y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5y மற்றும் -5y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$10z-14z=60-48$$

-14z-க்கு 10z-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4z=60-48$$

-48-க்கு 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4z=12$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=-3$$

5y+14z=48-இல் z-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

-3-ஐ 14 முறை பெருக்கவும்.

$$5y-42=48$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$5y=90$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=18$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=18,z=-3$$