{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது \frac{4}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3x-4,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 2\left(3x-4\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y+2=3x-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y+2-3x=-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-3x=-4-2$$

-4-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -6.

$$2y-3x=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது -\frac{11}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3x+11-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+y=3x+11$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+y-3x=11$$

5x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2x.

$$2x+y=11$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2y-3x=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=3x-6$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

-6+3x-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

பிற சமன்பாடு y+2x=11-இல் y-க்கு \frac{3x}{2}-3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

2x-க்கு \frac{3x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{2}x=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=4$$

y=\frac{3}{2}x-3-இல் x-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

4-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=6-3$$

6-க்கு -3-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=3,x=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது \frac{4}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3x-4,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 2\left(3x-4\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y+2=3x-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y+2-3x=-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-3x=-4-2$$

-4-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -6.

$$2y-3x=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது -\frac{11}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3x+11-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+y=3x+11$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+y-3x=11$$

5x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2x.

$$2x+y=11$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=3,x=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது \frac{4}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3x-4,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 2\left(3x-4\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y+2=3x-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y+2-3x=-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-3x=-4-2$$

-4-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -6.

$$2y-3x=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது -\frac{11}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3x+11-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+y=3x+11$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+y-3x=11$$

5x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2x.

$$2x+y=11$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y மற்றும் y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2y-3x=-6-இலிருந்து 2y+4x=22-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

-2y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2y மற்றும் -2y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-3x-4x=-6-22$$

-4x-க்கு -3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7x=-6-22$$

-22-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7x=-28$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

y+2x=11-இல் x-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y+2\times 4=11$$

4-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$y+8=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=3,x=4$$