{l}{x/92+y=58}{x-y/79=57}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 92 } + y = 58 } \\ { x - \frac { y } { 79 } = 57 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{419612}{7269} = 57\frac{5279}{7269} \approx 57.726234695$$

$$y = \frac{417041}{7269} = 57\frac{2708}{7269} \approx 57.372540927$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 92-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+92y=5336$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 79-ஆல் பெருக்கவும்.

$$79x-y=4503$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+92y=5336$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 92y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-92y+5336$$

பிற சமன்பாடு 79x-y=4503-இல் x-க்கு -92y+5336-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$79\left(-92y+5336\right)-y=4503$$

-92y+5336-ஐ 79 முறை பெருக்கவும்.

$$-7268y+421544-y=4503$$

-y-க்கு -7268y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7269y+421544=4503$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 421544-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7269y=-417041$$

இரு பக்கங்களையும் -7269-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

x=-92y+5336-இல் y-க்கு \frac{417041}{7269}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-92\times \frac{417041}{7269}+5336$$

\frac{417041}{7269}-ஐ -92 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{38367772}{7269}+5336$$

-\frac{38367772}{7269}-க்கு 5336-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 92-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+92y=5336$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 79-ஆல் பெருக்கவும்.

$$79x-y=4503$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&92\\79&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-92\times 79}&-\frac{92}{-1-92\times 79}\\-\frac{79}{-1-92\times 79}&\frac{1}{-1-92\times 79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}&\frac{92}{7269}\\\frac{79}{7269}&-\frac{1}{7269}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5336\\4503\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7269}\times 5336+\frac{92}{7269}\times 4503\\\frac{79}{7269}\times 5336-\frac{1}{7269}\times 4503\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{419612}{7269}\\\frac{417041}{7269}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 92-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+92y=5336$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 79-ஆல் பெருக்கவும்.

$$79x-y=4503$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+92y=5336,79x-y=4503$$

x மற்றும் 79x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 79-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$79x+79\times 92y=79\times 5336,79x-y=4503$$

எளிமையாக்கவும்.

$$79x+7268y=421544,79x-y=4503$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 79x+7268y=421544-இலிருந்து 79x-y=4503-ஐக் கழிக்கவும்.

$$79x-79x+7268y+y=421544-4503$$

-79x-க்கு 79x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 79x மற்றும் -79x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$7268y+y=421544-4503$$

y-க்கு 7268y-ஐக் கூட்டவும்.

$$7269y=421544-4503$$

-4503-க்கு 421544-ஐக் கூட்டவும்.

$$7269y=417041$$

இரு பக்கங்களையும் 7269-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{417041}{7269}$$

79x-y=4503-இல் y-க்கு \frac{417041}{7269}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$79x-\frac{417041}{7269}=4503$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{417041}{7269}-ஐக் கூட்டவும்.

$$79x=\frac{33149348}{7269}$$

இரு பக்கங்களையும் 79-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{419612}{7269}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{419612}{7269},y=\frac{417041}{7269}$$