{l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 36-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x-36y=756$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20x-y=320$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-36y=756$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 36y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=36y+756$$

பிற சமன்பாடு 20x-y=320-இல் x-க்கு 756+36y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

756+36y-ஐ 20 முறை பெருக்கவும்.

$$720y+15120-y=320$$

-y-க்கு 720y-ஐக் கூட்டவும்.

$$719y+15120=320$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$719y=-14800$$

இரு பக்கங்களையும் 719-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

x=36y+756-இல் y-க்கு -\frac{14800}{719}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

-\frac{14800}{719}-ஐ 36 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

-\frac{532800}{719}-க்கு 756-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{10764}{719}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 36-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x-36y=756$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20x-y=320$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 36-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x-36y=756$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20x-y=320$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

x மற்றும் 20x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 20-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

எளிமையாக்கவும்.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 20x-720y=15120-இலிருந்து 20x-y=320-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

-20x-க்கு 20x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 20x மற்றும் -20x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-720y+y=15120-320$$

y-க்கு -720y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-719y=15120-320$$

-320-க்கு 15120-ஐக் கூட்டவும்.

$$-719y=14800$$

இரு பக்கங்களையும் -719-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

20x-y=320-இல் y-க்கு -\frac{14800}{719}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{14800}{719}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{10764}{719}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$