{l}{x/33-y=26}{x-y/88=66}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 33 } - y = 26 } \\ { x - \frac { y } { 88 } = 66 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{190806}{2903} = 65\frac{2111}{2903} \approx 65.727178781$$

$$y = -\frac{69696}{2903} = -24\frac{24}{2903} \approx -24.00826731$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 33-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x-33y=858$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 88-ஆல் பெருக்கவும்.

$$88x-y=5808$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-33y=858$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 33y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=33y+858$$

பிற சமன்பாடு 88x-y=5808-இல் x-க்கு 858+33y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$88\left(33y+858\right)-y=5808$$

858+33y-ஐ 88 முறை பெருக்கவும்.

$$2904y+75504-y=5808$$

-y-க்கு 2904y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2903y+75504=5808$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 75504-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2903y=-69696$$

இரு பக்கங்களையும் 2903-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

x=33y+858-இல் y-க்கு -\frac{69696}{2903}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=33\left(-\frac{69696}{2903}\right)+858$$

-\frac{69696}{2903}-ஐ 33 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{2299968}{2903}+858$$

-\frac{2299968}{2903}-க்கு 858-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 33-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x-33y=858$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 88-ஆல் பெருக்கவும்.

$$88x-y=5808$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-33\\88&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}&-\frac{-33}{-1-\left(-33\times 88\right)}\\-\frac{88}{-1-\left(-33\times 88\right)}&\frac{1}{-1-\left(-33\times 88\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}&\frac{33}{2903}\\-\frac{88}{2903}&\frac{1}{2903}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}858\\5808\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2903}\times 858+\frac{33}{2903}\times 5808\\-\frac{88}{2903}\times 858+\frac{1}{2903}\times 5808\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190806}{2903}\\-\frac{69696}{2903}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 33-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x-33y=858$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 88-ஆல் பெருக்கவும்.

$$88x-y=5808$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-33y=858,88x-y=5808$$

x மற்றும் 88x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 88-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$88x+88\left(-33\right)y=88\times 858,88x-y=5808$$

எளிமையாக்கவும்.

$$88x-2904y=75504,88x-y=5808$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 88x-2904y=75504-இலிருந்து 88x-y=5808-ஐக் கழிக்கவும்.

$$88x-88x-2904y+y=75504-5808$$

-88x-க்கு 88x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 88x மற்றும் -88x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-2904y+y=75504-5808$$

y-க்கு -2904y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2903y=75504-5808$$

-5808-க்கு 75504-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2903y=69696$$

இரு பக்கங்களையும் -2903-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{69696}{2903}$$

88x-y=5808-இல் y-க்கு -\frac{69696}{2903}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$88x-\left(-\frac{69696}{2903}\right)=5808$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{69696}{2903}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$88x=\frac{16790928}{2903}$$

இரு பக்கங்களையும் 88-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{190806}{2903}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{190806}{2903},y=-\frac{69696}{2903}$$