{l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=12$$

$$y=15$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+3y=105$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 30-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -12.

$$5x-12y=-120$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x+3y=105$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-3y+105$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

-3y+105-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

பிற சமன்பாடு 5x-12y=-120-இல் x-க்கு -\frac{3y}{5}+21-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

-\frac{3y}{5}+21-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-3y+105-12y=-120$$

-12y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y+105=-120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 105-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15y=-225$$

இரு பக்கங்களையும் -15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21-இல் y-க்கு 15-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

15-ஐ -\frac{3}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-9+21$$

-9-க்கு 21-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=12$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=12,y=15$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+3y=105$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 30-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -12.

$$5x-12y=-120$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=12,y=15$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x+3y=105$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 30-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-6 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -12.

$$5x-12y=-120$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5x+3y=105-இலிருந்து 5x-12y=-120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

-5x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5x மற்றும் -5x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3y+12y=105+120$$

12y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=105+120$$

120-க்கு 105-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=225$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=15$$

5x-12y=-120-இல் y-க்கு 15-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x-12\times 15=-120$$

15-ஐ -12 முறை பெருக்கவும்.

$$5x-180=-120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 180-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=60$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=12$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=12,y=15$$