{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

பிரதியீடு மற்றும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 9,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 36-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்துவதன் மூலம் x-க்கான 3x+4y=1-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$3x+4y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-4y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

பிற சமன்பாடு 9y^{2}+4x^{2}=36-இல் x-க்கு -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

\frac{64}{9}y^{2}-க்கு 9y^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 36-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b-க்குப் பதிலாக 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -\frac{320}{9}-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{320}{9}-ஐ -\frac{580}{9} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{185600}{81} உடன் \frac{1024}{81}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2-க்கு எதிரில் இருப்பது \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}-ஐத் தீர்க்கவும். 48-க்கு \frac{32}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{464}{9}-இன் தலைகீழ் மதிப்பால் \frac{290}{9}-ஐப் பெருக்குவதன் மூலம் \frac{464}{9}-ஐ \frac{290}{9}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{8}{5}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}-ஐத் தீர்க்கவும். \frac{32}{9}–இலிருந்து 48–ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

-\frac{400}{9}-இன் தலைகீழ் மதிப்பால் \frac{290}{9}-ஐப் பெருக்குவதன் மூலம் -\frac{400}{9}-ஐ \frac{290}{9}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y-க்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளன: \frac{8}{5} மற்றும் -\frac{40}{29}. இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற x-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} சமன்பாட்டில் y-க்காக \frac{8}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{8}{5}-ஐ -\frac{4}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}-க்கு -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{9}{5}$$

இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற x-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, இப்போது x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} சமன்பாட்டில் y-க்காக -\frac{40}{29}-ஐப் பிரதியிட்டு, தீர்க்கவும்.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{40}{29}-ஐ -\frac{4}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}-க்கு -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right)-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{63}{29}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$