{l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,5,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4-ஐ y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

20-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$10x+4y=5x+20$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x+4y-5x=20$$

10x மற்றும் -5x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x+4y=20$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+3y=x-1+9$$

-1 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 8.

$$3x+3y=x+8$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y-x=8$$

3x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2x.

$$2x+3y=8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x+4y=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-4y+20$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

-4y+20-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=8-இல் x-க்கு -\frac{4y}{5}+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

-\frac{4y}{5}+4-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

3y-க்கு -\frac{8y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{7}{5}y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=0$$

x=-\frac{4}{5}y+4-இல் y-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=0$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,5,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4-ஐ y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

20-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$10x+4y=5x+20$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x+4y-5x=20$$

10x மற்றும் -5x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x+4y=20$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+3y=x-1+9$$

-1 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 8.

$$3x+3y=x+8$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y-x=8$$

3x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2x.

$$2x+3y=8$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=0$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,5,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4-ஐ y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

20-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$10x+4y=5x+20$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x+4y-5x=20$$

10x மற்றும் -5x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x+4y=20$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+3y=x-1+9$$

-1 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 8.

$$3x+3y=x+8$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y-x=8$$

3x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2x.

$$2x+3y=8$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 10x+8y=40-இலிருந்து 10x+15y=40-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

-10x-க்கு 10x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 10x மற்றும் -10x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8y-15y=40-40$$

-15y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=40-40$$

-40-க்கு 40-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=0$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=0$$

2x+3y=8-இல் y-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x=8$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=0$$