{l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது -2-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y+2\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=2y+4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3-2y=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-2y=4-3$$

4-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 1.

$$3x-2y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y-1,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y-1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3-ஐ x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-6=y-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-6-y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-y=-1+6$$

-1 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$3x-y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-2y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=2y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

பிற சமன்பாடு 3x-y=5-இல் x-க்கு \frac{2y+1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

\frac{2y+1}{3}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2y+1-y=5$$

-y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y+1=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

4-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{8}{3} உடன் \frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது -2-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y+2\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=2y+4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3-2y=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-2y=4-3$$

4-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 1.

$$3x-2y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y-1,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y-1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3-ஐ x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-6=y-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-6-y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-y=-1+6$$

-1 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$3x-y=5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது -2-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y+2\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=2y+4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3-2y=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-2y=4-3$$

4-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 1.

$$3x-2y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y-1,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y-1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3-ஐ x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-6=y-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-6-y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-y=-1+6$$

-1 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$3x-y=5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3x-2y=1-இலிருந்து 3x-y=5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

-3x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3x மற்றும் -3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-2y+y=1-5$$

y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=1-5$$

-5-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

3x-y=5-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x-4=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=4$$